Il teorema del coseno

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Introduzione

Il teorema del coseno è anche detto teorema di Carnot, dal nome del matematico francese che lo studiò; viene applicato dalla trigonometria quando si ha la misura di due lati di un triangolo qualsiasi e del coseno dell'angolo tra essi compreso e si vuole calcolare la misura del terzo lato del triangolo. Può essere inteso come una generalizzazione del teorema di Pitagora per i triangoli non rettangoli. Potrebbe sembrare difficile, ma se si hanno buone basi di matematica, la sua dimostrazione è molto semplice. In questa guida vi espongo il suo enunciato e la sua applicazione.

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Enunciato del teorema del coseno

Il teorema del coseno dice che: in un triangolo qualsiasi il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, sottratta del doppio prodotto della misura dei due lati dati per il coseno dell'angolo fra essi compreso.
a^2= b^2+c^2-2bc*cos (a); dove: a è il lato ignoto, b e c i lati che conosciamo e (a) l'angolo fra essi compreso.
Ripetendo lo stesso ragionamento, possiamo scrivere le formule che ci servono nel caso in cui volessimo calcolare il lato b o il lato c.
b^2= a^2+c^2-2ac*cos (b)
c^2=a^2+b^2-2bc*cos (c).

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Applicazione del teorema del coseno

Il teorema del coseno, o di Carnot, abbiamo detto che ci torna utile quando in un triangolo qualsiasi conosciamo la misura di due lati e dell'angolo fra essi compreso e vogliamo trovare la misura del terzo lato. Ma può essere applicato anche quando ci sono noti tutti e tre i lati del triangolo e vogliamo determinare il coseno di uno dei tre angoli. Questo si può ottenere attraverso l'applicazione delle formule inverse: cos (a)= (b^2+c^2-a^2)/2bc.
cos (b)= (a^2+c^2-b^2)/2ac.
cos (c)= (a^2+b^2-c^2)/2ab.
Il teorema del coseno, si può dimostrare anche con il "teorema delle proiezioni" e può essere utilizzato con i vettori. Per questo serve anche quando viene applicata la regola del parallelogramma e il metodo punto-coda.

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Cenni storici

Il termine trigonometria deriva dalle due parole greche "trìgonon" e "mètron": misurazione del triangolo. Infatti, la trigonometria è quella parte della matematica che si occupa dello studio delle relazione che intercorrono tra gli elementi dei triangoli, cioè tra i lati e gli angoli. L'iniziazione della trigonometria si deve a Ipparco di Nicea e a Claudio Tolomeo che erano intenti a descrivere sempre con maggiore precisione i fenomeni celesti, oltre al calcolo di latitudini e longitudini. Infatti si può affermare che nacque prima la trigonometria sferica e dopo quella piana. Quest'ultima nacque quando iniziò ad essere applicata anche alla topografia e all'agrimensura. Con questo possiamo sostenere che, anche se sotto una forma diversa, il teorema del coseno era già conosciuto ai tempi di Euclide.

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